Question

【題目】如圖，過邊長為8的等邊的邊AB上一點P，作于，為 延長線上一點，當時，連接交邊于，則的長為________．

Answer 1

【答案】

【解析】過P作PF∥BC交AC于F，得出等邊三角形APF，推出AP=PF=QC，根據等腰三角形性質求出EF=AE，證△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可．

解：如圖，過P作PF∥BC交AC于F，

∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，
∴∠PFD=∠QCD，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，
∴△APF是等邊三角形，∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ，
在△PFD和△QCD中
∠PFD=∠QCD，∠PDF=∠CDQ，PF=CQ，

∴△PFD≌△QCD，∴FD=CD，
∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE=AC，
∵AC=8，∴DE=4，
故答案為：4．

“點睛”本題綜合考查了全等三角形的性質和判定，等邊三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，平行線的性質等知識點的應用，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵，通過做此題培養了學生分析問題和解決問題的能力，題型較好，難度適中．