Question

【題目】如圖，在平面坐標系中，A（a，0），B（b，0），C（x，y）且滿足（a+b）2+|a﹣b﹣4|＝0，y＝+2．

（1）求三角形ABC的面積；

（2）若過B作BD∥AC交y軸于D，且AE、DE平分∠CAB、∠ODB，如圖，求∠AED的度數(shù)；

（3）在y軸上是否存在點P，①使得△ABC和△ACP的面積相等，若存在，求出P點的坐標：若不存在，請說明理由；②若△ACP的面積是△ABC面積的2018倍成立，直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）S△ABC＝4；（2）∠AED＝45°；（3）存在．①P點坐標為（0，3）或（0，﹣1），②P點坐標為（0，4037）或（0，﹣4035），理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到a＝﹣b，a﹣b+4＝0，解得a＝﹣2，b＝2，再根據(jù)y＝+2，求出x＝2，y＝2，則A（﹣2，0），B（2，0），C（2，2），即可計算出三角形ABC的面積＝4；

（2）由于CB∥y軸，BD∥AC，則∠CAB＝∠ABD，即∠3+∠4+∠5+∠6＝90°，過E作EF∥AC，則BD∥AC∥EF，然后利用角平分線的定義可得到∠3＝∠4＝∠1，∠5＝∠6＝∠2，所以∠AED＝∠1+∠2＝×90°＝45°；

（3）先根據(jù)待點系數(shù)法確定直線AC的解析式為y＝x+1，則G點坐標為（0，1），即可得出PG＝|t﹣1|，

①利用S△PAC＝S△APG+S△CPG＝4進行計算，即可得出結(jié)論；

②利用S△PAC＝S△APG+S△CPG＝4×2018進行計算，即可得出結(jié)論．

（1）∵（a+b）2+|a﹣b+4|＝0，

∴a＝﹣b，a﹣b+4＝0，

∴a＝﹣2，b＝2，

∵y＝+2，

∴x＝2，y＝2，

∴A（﹣2，0），B（2，0），C（2，2）

∴CB⊥AB，

∴S△ABC＝×4×2＝4；

（2）如圖1，∵CB∥y軸，BD∥AC，

∴∠CAB＝∠ABD，

∴∠3+∠4+∠5+∠6＝90°，

過E作EF∥AC，

∵BD∥AC，

∴BD∥AC∥EF，

∵AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，

∴∠3＝∠4＝∠1，∠5＝∠6＝∠2，

∴∠AED＝∠1+∠2＝×90°＝45°；

（3）存在．理由如下：如圖2，

設(shè)P點坐標為（0，t），直線AC的解析式為y＝kx+b，

把A（﹣2，0）、C（2，2）代入得 ，解得 ，

∴直線AC的解析式為y＝x+1，

∴G點坐標為（0，1），

∴PG＝|t﹣1|，

①∵△ABC和△ACP的面積相等，

∴S△PAC＝S△APG+S△CPG＝|t﹣1|×2+|t﹣1|×2＝4，解得t＝3或t＝﹣1，

∴P點坐標為（0，3）或（0，﹣1），

②∵△ACP的面積是△ABC面積的2018倍，

∴S△PAC＝S△APG+S△CPG＝|t﹣1|×2+|t﹣1|×2＝4×2018，解得t＝4037或t＝﹣4035，

∴P點坐標為（0，4037）或（0，﹣4035），