Question

【題目】如圖，PQ為圓O的直徑，點B在線段PQ的延長線上，OQ=QB=1，動點A在圓O的上半圓運動（含P、Q兩點），

（1）當線段AB所在的直線與圓O相切時，求弧AQ的長（圖1）；
（2）若∠AOB=120°，求AB的長（圖2）；

（3）如果線段AB與圓O有兩個公共點A、M，當AO⊥PM于點N時，求tan∠MPQ的值（圖3）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直線AB與圓O相切，

∴∠OAB=90°，

∵OQ=QB=1，

∴OA=1，OB=2，

∴OA= OB，

∴∠B=30°，

∴∠AOB=60°，

∴AQ= ；

（2）解：如圖1，

連接AP，過點A作AM⊥BP于M，

∵∠AOB=120°，

∴∠AOP=60°，

∵sin∠AOP= ，

∴AM=sin∠AOPAO=sin60°×1= ，

∵OM= ，

∴BM=OM+OB= +2= ，

∴AB= ；

（3）解：如圖2，連接MQ，

∵PQ為圓O的直徑，

∴∠PMQ=90°，

∵ON⊥PM，

∴AO∥MQ，

∵PO=OQ，

∴ON= MQ，

∵OQ=BQ，

∴MQ= AO，

∴ON= AO，

設ON=x，則AO=4x，

∵OA=1，

∴4x=1，

∴x= ，

∴ON= ，

∴PN= ，

∴tan∠MPQ= ．

【解析】（1）先根據直角三角形的性質求出∠B的度數，得到∠AOB的度數，再根據弧長的計算公式進行求解即可。
（2）連接AP，過點A作AM⊥BP于M，根據特殊角的三角函數值和已知條件求出AM，再根據BM=OM+OB，求出BM，最后根據勾股定理求出AB。
（3）連接MQ，先根據PQ是圓O的直徑和AO⊥PM，得出ON∥MQ，求出ON與OA的數量關系，設ON=x，則AO=4x，根據OA的值求出x的值，再根據勾股定理求出PN的長，最后根據三角函數的定義即可得出答案。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的性質定理的相關知識，掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑，以及對弧長計算公式的理解，了解若設⊙O半徑為R，n°的圓心角所對的弧長為l，則l=nπr/180;注意：在應用弧長公式進行計算時，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位的．