Question

【題目】根據要求回答問題：
（1）問題發現
如圖1，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=90°，B，C，D在一條直線上．

填空：線段AD，BE之間的關系為
（2）拓展探究
如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，請判斷AD，BE的關系，并說明理由．

（3）解決問題
如圖3，線段PA=3，點B是線段PA外一點，PB=5，連接AB，將AB繞點A逆時針旋轉90°得到線段AC，隨著點B的位置的變化，直接寫出PC的范圍．

Answer 1

【答案】
（1）AD=BE,AD⊥BE
（2）解：結論：AD=BE，AD⊥BE．

理由：如圖2中，設AD交BE于H，AD交BC于O．

∵△ACB與△DCE均為等腰直角三角形，

∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，

∴ACD=∠BCE，

在Rt△ACD和Rt△BCE中

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，

∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，

∴∠BOH+∠OBH=90°，

∴∠OHB=90°，

∴AD⊥BE，

∴AD=BE，AD⊥BE．

（3）解：如圖3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，則易證△APE≌△ACP，

∴PC=BE，

圖3﹣1中，當P、E、B共線時，BE最小，最小值=PB﹣PE=5﹣3 ，

圖3﹣2中，當P、E、B共線時，BE最大，最大值=PB+PE=5+3 ，

∴5﹣3 ≤BE≤5+3 ，

即5﹣3 ≤PC≤5+3 ．

【解析】解：（1）結論：AD=BE，AD⊥BE．

理由：如圖1中，

∵△ACB與△DCE均為等腰直角三角形，

∴AC=BC，CE=CD，

∠ACB=∠ACD=90°，

在Rt△ACD和Rt△BCE中

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠EBC=∠CAD

延長BE交AD于點F，

∵BC⊥AD，

∴∠EBC+∠CEB=90°，∵∠CEB=AEF，

∴∠EAD+∠AEF=90°，

∴∠AFE=90°，即AD⊥BE．

∴AD=BE，AD⊥BE．

所以答案是AD=BE，AD⊥BE．

【考點精析】根據題目的已知條件，利用全等三角形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等．