Question

【題目】閱讀理解 如圖1，△ABC中，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復部分；…；將余下部分沿∠BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點Bn與點C重合，無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．
小麗展示了確定∠BAC是△ABC的好角的兩種情形．情形一：如圖2，沿等腰三角形ABC頂角∠BAC的平分線AB1折疊，點B與點C重合；情形二：如圖3，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，此時點B1與點C重合．
探究發現

（1）△ABC中，∠B=2∠C，經過兩次折疊，∠BAC是不是△ABC的好角？（填“是”或“不是”）．
（2）小麗經過三次折疊發現了∠BAC是△ABC的好角，請探究∠B與∠C（不妨設∠B＞∠C）之間的等量關系．根據以上內容猜想：若經過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不妨設∠B＞∠C）之間的等量關系為 應用提升
（3）小麗找到一個三角形，三個角分別為15°、60°、105°，發現60°和105°的兩個角都是此三角形的好角． 請你完成，如果一個三角形的最小角是4°，試求出三角形另外兩個角的度數，使該三角形的三個角均是此三角形的好角．

Answer 1

【答案】
（1）是
（2）∠B=n∠C
（3）解：由（2）知設∠A=4°，∵∠C是好角，∴∠B=4n°；

∵∠A是好角，∴∠C=m∠B=4mn°，其中m、n為正整數得4+4n+4mn=180

∴如果一個三角形的最小角是4°，三角形另外兩個角的度數是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．

【解析】解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，經過兩次折疊，∠BAC是△ABC的好角； 理由如下：小麗展示的情形二中，如圖3，
∵沿∠BAC的平分線AB1折疊，
∴∠B=∠AA1B1；
又∵將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，此時點B1與點C重合，
∴∠A1B1C=∠C；
∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），
∴∠B=2∠C，∠BAC是△ABC的好角．
故答案是：是；（2）∠B=3∠C；如圖所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復部分，將余下部分沿∠B2A2C的平分線A2B3折疊，點B2與點C重合，則∠BAC是△ABC的好角．
證明如下：∵根據折疊的性質知，∠B=∠AA1B1 ， ∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2 ，
∴根據三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；
∵根據四邊形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1﹣∠A1 B1C=∠BAC+2∠B﹣2∠C=180°，
根據三角形ABC的內角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C；
由小麗展示的情形一知，當∠B=∠C時，∠BAC是△ABC的好角；
由小麗展示的情形二知，當∠B=2∠C時，∠BAC是△ABC的好角；
由小麗展示的情形三知，當∠B=3∠C時，∠BAC是△ABC的好角；
故若經過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不妨設∠B＞∠C）之間的等量關系為∠B=n∠C；
【考點精析】掌握翻折變換（折疊問題）是解答本題的根本，需要知道折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等．