Question

【題目】如圖，矩形ABCD的邊AB=4，且BC＞AB，一個量角器如圖所示放置，其中零刻度（即半圓O的直徑）與邊AB重合，點A處是0刻度，點B處是180刻度，點P是量角器的半圓弧上一動點，過點P作半圓的切線，設點P的刻度數為m，過點P的切線交線段BC與線段AD于點E，F．

（1）設∠PAB=n．
①如圖1，當m=114°時，n=；
②直接寫出n與m的關系式：；
（2）試說明AF·BE是否是一個定值，若是，請求出它的值；若不是，請說明理由；
（3）當EF= 時，求點P的刻度數m的值．

Answer 1

【答案】
（1）33°；解：∵OA=OP
∴∠APO=∠PAO=n
又∵∠AOP=m
∴2n+m=180°
∴n=90°-
（2）

解：AF·BE是一個定值，理由如下：

過點F作FG⊥BC于G．

∵AF，EF，BE是⊙O的切線

∴AF=PF，PE=BE， FE=PF+PE=AF+BE

在Rt△FGE中，GE2+GF2=FE2

∴（AF-BE）2+42=(AF+BE)2

∴AF·BE=4

（3）

解：設AF=x，BE=y

∴xy=4，EF=AF+BE=x+y=

∴（ -x）·x=4，即x 2- x+4=0

解得：x1=2 ，x2=

(ⅰ)當x1=2 時，可求得FO=4

∴AO= FO，∴∠AFO=30°，∴∠AOF=60°

∴∠AOP=2∠AOF=120°

即m=120°．

(ⅱ)當x2= 時，可求得FO=

∴∠AOF=30°，∴∠AOP=60°

即m=60°．

綜上可得，點P對應的刻度m的值為120°或60°．

答：點P的刻度數m的值為120°或60°．

【解析】（1）連接OP，AOP是等腰三角形，利用等腰三角形的性質求解即可.
（2）過點F作FG⊥BC于G，利用切線長定理及勾股定理列等式，化簡即可得出AF·BE=4.
（3）充分利用第（2）問的結論，注意分(ⅰ)當x1= 時和(ⅱ)當x2=時兩種情況討論.
【考點精析】認真審題，首先需要了解切線長定理(從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角)，還要掌握等腰三角形的性質(等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）)的相關知識才是答題的關鍵．