Question

【題目】如圖，點在直徑的延長線上，點在上，且AC=CD，∠ACD=120°.

（1）求證： 是的切線；

（2）若的半徑為2，求圖中陰影部分的面積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2．

【解析】試題分析：（1）連接OC．只需證明∠OCD=90°．根據等腰三角形的性質即可證明；

（2）陰影部分的面積即為直角三角形OCD的面積減去扇形COB的面積．

試題解析：（1）證明：連接OC．

∵AC=CD，∠ACD=120°，

∴∠A=∠D=30°．

∵OA=OC，

∴∠2=∠A=30°．

∴∠OCD=180°-∠A-∠D-∠2=90°．即OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線．

（2）∵∠A=30°，

∴∠1=2∠A=60°．

∴S扇形BOC=．

在Rt△OCD中，

∵＝tan60°，

∴CD＝2．

∴SRt△OCD＝OC×CD＝×2×2＝2．

∴圖中陰影部分的面積為：2．