Question

【題目】如圖1，點O在線段AB上，AO=2，OB=1，OC為射線，且∠BOC=60°，動點P以每秒2個單位長度的速度從點O出發，沿射線OC做勻速運動，設運動時間為t秒．

（1）當t= 秒時，則OP= ， S△ABP=；
（2）當△ABP是直角三角形時，求t的值；
（3）如圖2，當AP=AB時，過點A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求證：AQ·BP=3．為了證明AQ·BP=3，小華同學嘗試過O點作OE∥AP交BP于點E．試利用小華同學給我們的啟發補全圖形并證明AQ·BP=3．

Answer 1

【答案】
（1）1,
（2）解：①∵∠A＜∠BOC=60°，

∴∠A不可能是直角．

②如備用圖，當∠ABP=90°時，

∵∠BOC=60°，

∴∠OPB=30°．

∴OP=2OB，即2t=2．

∴t=1；

③當∠APB=90°，如圖1，

OP=2t，OH=t，PH= t，AH=2+t，HB=1-t，

∵∠APH+∠BPH=90°，∠B+∠BPH=90°，

∴∠APH=∠B．

∴△APH∽△PBH．

∴ ，即 ，

整理得4t2+t-2=0，

解得t1= ，t2= （舍去）

（3）解: 補全圖形，如圖，

∵AP=AB，

∴∠APB=∠B．

∵OE∥AP，

∴∠OEB=∠APB=∠B．

∵AQ∥BP，

∴∠QAB+∠B=180°．

∵∠OEP+∠OEB=180°，

∴∠OEP=∠QAB．

又∵∠AOC=∠OPB+∠B=∠AOQ+∠QOP，

∵∠B=∠QOP，

∴∠AOQ=∠OPB．

∴△QAO∽△OEP．

∴ ，即AQEP=EOAO．

∵OE∥AP，

∴△OBE∽△ABP．

∴ ．

∴OE= AP=1，BP= EP．

∴AQBP=AQ EP= AOOE= ×2×1=3．

【解析】解：（1）作PH⊥AB于H，

∵動點P以每秒2個單位長度的速度從點O出發，

∴當t= 秒時，則OP=1，

∵∠BOC=60°，OP=1，

∴PH=OP×sin60°= ，

∴S△ABP= ×AB×PH= ，

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質的相關知識，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方，以及對解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)．