Question

【題目】（滿分14分）已知，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)F是邊AB、BC上一動(dòng)點(diǎn)，DE⊥DF，且DE=DF，M為EF的中點(diǎn)．

當(dāng)點(diǎn)F在邊AB上時(shí)（如圖）．

求證：點(diǎn)E在BC直線上；

若AD=a，AF=b，并滿足.

求a，b的值及MC的長(zhǎng)；

當(dāng)點(diǎn)F在BC上時(shí)（如圖），求的值．

　(圖)　　　　　　　　　　　　　　(圖)

Answer 1

【答案】(1)①見解析，②；（2）

【解析】試題分析：（1）①連接CE，證明△ADF≌△CDE，得到∠DCE=∠DAF=90°即可；②作FK∥MC，證明CM=FK，求出FK=BF即可；（2）過點(diǎn)E作CD的平行線分別交AD、BC的延長(zhǎng)線于K、Q，EN∥MC，根據(jù)平行線等分線段定理即可解答．

試題解析：

(1)①如圖①，連接CE，

∵∠ADC=90°，DE⊥DF，

∴∠ADF=∠CDE，

在△ADF和△CDE中，

，

∴△ADF≌△CDE，

∴∠DCE=∠DAF=90°，

∴點(diǎn)E在直線BC上；

②如圖①,作FK∥MC，∵M為EF的中點(diǎn)，

∴CM=FK，

∵∠DMB=∠DCB=90°，

∴D、M、C.B四點(diǎn)共圓，

∴∠MCD=∠MBD=45°，

∴∠BKF=45°，

∵BF=2,∴FK=，

∴CM=FK=；

(2)過點(diǎn)E作CD的平行線分別交AD、BC的延長(zhǎng)線于K、G,EN∥MC,

∵M為EF的中點(diǎn)，

∴CM=NE，FC=CN，

∴NG=EG=BF，

= ==.