Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m－2與x軸交于A、B兩點，點A在點B的左邊，與y軸交于點C，P(s，t)為拋物線上A、B之間一點（不包括A、B），連接AP、BP分別交y軸于點E、D

（1）若m＝－1，求A、B兩點的坐標

（2）若s＝1，求ED的長度

（3）若∠BAP＝∠ODP，求t的值

Answer 1

【答案】（1）A(－2，0)、B(1，0)（2）3（3） t＝－1

【解析】試題分析：（1）把m＝－1代入拋物線y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m－2得y＝x2＋x－2，令y=0得方程x2＋x－2=0，解得x=-2或x=1，即可得）A(－2，0)、B(1，0)；（2）先求得A、B兩點的坐標，再表示出點P的坐標，分別求得直線AP、BP的解析式，從而求得DE的長；（3）由∠BAP＝∠ODP可得∠DPE＝∠AOE＝90°，過點P作PQ⊥x軸于Q，由射影定理得，t2＝(s－xA)(xB－s)，整理得s(xA＋xB)－s2－xAxB＝t2，根據根與系數的關系可得s·(2m＋1)－s2－(m－1)(m＋2)＝t2，把x＝s代入解得t值即可.

試題解析：

（1）A(－2，0)、B(1，0)

（2）∵y＝[x－(m＋2)][x－(m－1)]

∴A(m－1，0)、B(m＋2，0)

∵s＝1

∴P(1，m2－m－2)

∴直線AP的解析式為y＝－(m＋1)x＋m2－1

直線BP的解析式為y＝－(m－2)x＋m2－4

∴DE＝m2－1－(m2－4)＝3

（3） ∵∠BAP＝∠ODP

∴∠DPE＝∠AOE＝90°

過點P作PQ⊥x軸于Q

由射影定理得，t2＝(s－xA)(xB－s)

∴s(xA＋xB)－s2－xAxB＝t2

∴s·(2m＋1)－s2－(m－1)(m＋2)＝t2

當x＝s時，t＝s2－(2m＋1)s＋(m－1)(m＋2)

∴t2＝－t，解得t＝－1