Question

【題目】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，矩形DEFG的頂點D、G分別在AC、BC上，邊EF在AB上．

（1）求證：△AED∽△DCG；

（2）若矩形DEFG的面積為4，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2） .

【解析】

（1）利用等腰三角形的性質及正方形的性質可求得∠A=∠CDG，∠DEA=∠C，則可證得△AED∽△DCG；

（2）設AE=x，利用矩形的性質及等腰三角形的性質可求得BF=FG=DE=AE=x，從而可表示出EF，結合矩形的面積可得到關于x的方程，則可求得x的值，即可求得AE的長．

（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，

∴∠B=∠A=45°，

∵四邊形DEFG是矩形，

∴∠AED=∠DEF=90°，DG∥AB，

∴∠CDG=∠A，

∵∠C=90°，

∴∠AED=∠C，

∴△AED∽△DCG；

（2）設AE的長為x，

∵等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，

∴∠A=∠B=45°，AB=4，

∵矩形DEFG的面積為4，

∴DEFE=4，∠AED=∠DEF=∠BFG=90°，

∴BF=FG=DE=AE=x，

∴EF=4-2x，

即x（4-2x）=4，

解得x1=x2=．

∴AE的長為．