Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內一點E滿足EB=EC，EA=ED，∠BEC=∠AED=90°，AC交DE于點F，交BD于點G．

(1)∠AGB的度數為

(2)若四邊形AECD是平行四邊形

①求證:AC=AB

②若AE=2，求AF·CG的值

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）①見解析，②AFCG= 4．

【解析】

(1)先利用SAS證明△BED≌△CEA，得∠DBE=∠ACE，由∠BHE=∠CHG，得到∠HGC=∠BEH=90°，從而∠AGB=90°；

(2)①由(1)可知△BED≌△CEA，得BD=CA，由平行四邊形AECD，得AE=CD=DE，∠AED=∠EDC=90°，從而∠CED=45°，∠BED=135°，利用周角得到∠BEA=135°，可證△BAE≌△BDE，得到BD=BA，從而AC=AB；

②由①可知，△CAE≌△BAE，得∠BAE=∠EAC=∠BDE，由∠EAC+∠AFE=90°，∠GFD=∠AFE，得∠GFD+∠BDE=90°，從而∠CGD=90°，可證△CGD∽△AEF，根據相似三角形的性質得到=，由AE=4，從而得解.

解：(1)∵∠BEC=∠AED=90°，

∴∠BED=∠CEA，

又∵BE=EC，EA=ED，

∴△BED≌△CEA，

∴∠DBE=∠ACE，

又∵∠BHE=∠CHG，

∴∠HGC=∠BEH=90°，

∴∠AGB=90°；

(2)①∵四邊形AECD是平行四邊形，

∴∠AED=∠EDC=90°，AE=CD，

∵△ADE是等腰直角三角形，

∴AE=ED，∴ED=CD，

∴∠CED=45°，

∴∠BED=90°+45°=135°，

∵∠AED=∠BEC=90°，

∴∠AEB=360°-90°-90°-45°=135°，又EB=EB，ED=EA，

∴△BAE≌△BDE（SAS），

∴DB=AB；

∵∠BEC=∠AED=90°，

∴∠BED=∠CEA，

∵EB=EC,EA=ED，

∴△BED≌△CEA，

∴BD=CA，

∴AC=AB.

②∵△BAE≌△BDE，

∴△CAE≌△BAE，

∴∠BAE=∠CAE=∠BDE，

∵∠EAF+∠AFE=90°，

∴∠AFE+∠BAE=90°，

∵∠GFD=∠AFE，∠EDB=∠EAB，

∴∠EDB+∠GFD=90°，

∴∠CGD=90°，

∵∠FAE=90°，∠GCD=∠AEF，

∴△CGD∽△AEF，

∴=，

∴AFCG=CDAE=4．

故答案為(1)90°；(2)①見解析，②4．