Question

【題目】如圖，將矩形ABCD沿AH折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處．折痕與邊BC交于點 H,

已知AD=8，HC:HB=3:5.

（1）求證：△HCP∽△PDA；

（2） 探究AB與HB之間的數量關系，并證明你的結論；

（3）連結BP，動點M在線段AP上（點M與點P、A不重合），動點N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連結MN交PB于點F，作ME⊥BP于點E．試問當點M、N在移動過程中，線段EF的長度是否發生變化？若變化，說明理由；說明理由；若不變，求出線段EF的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AB=2BH.，理由見解析；(3) EF的長度不變．

【解析】試題分析：（1）根據兩角對應相等的兩三角形相似可求證；

（2）根據（1）的結論，由相似三角形的性質可求出二者之間的關系；

（3）作MQ∥AB交PB于Q，可得∠MQP=∠ABP， 然后由折疊的性質可知，∠APB=∠ABP，即∠MQP=∠APB，根據等角對等邊可得MP=MQ，又BN=PM，根據等量代換可得MQ=BN，然后由平行線分線段成比例可求EF=PB，最后根據勾股定理求解.

試題解析：（1）由折疊的性質可知，

∠APH=∠B=90°， ∴∠APD+∠HPC=90°，

又∠PHC+∠HPC=90°， ∴∠APD=∠PHC，

又∠D=∠C=90°，∴△HCP∽△PDA；

（2）AB=2BH.

∵HC:HB=3:5，設HC=3x，則HB=5x，

在矩形ABCD中，BC=AD=8 ，∴HC=3，則HB=5

由折疊的性質可知HP=HB=5,AP=AB,

在Rt△HCP,易得PC=4，

∵△HCP∽△PDA

∴,∴

∴AB=AP=10=2BH,即AB=2BH.

（3）EF的長度不變．

作MQ∥AB交PB于Q， ∴∠MQP=∠ABP，

由折疊的性質可知，∠APB=∠ABP，

∴∠MQP=∠APB，

∴MP=MQ，又BN=PM，∴MQ=BN，

∵MQ∥AB，∴，

∴QF=FB，

∵MP=MQ，ME⊥BP， ∴PE=QE，∴EF=PB，

由（2）得，PC=4，BC=8，

∴PB==，

∴EF=