Question

【題目】在矩形ABCD中，邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)P處（如圖1）．

（1）如圖2，設(shè)折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接，OP、OA．已知△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長(zhǎng)；
（2）動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（不與點(diǎn)P、A重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，且BN=PM，連接MN、CA，交于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作ME⊥BP于點(diǎn)E．
①在圖1中畫出圖形；
②在△OCP與△PDA的面積比為1：4不變的情況下，試問動(dòng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)的過程中，線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？請(qǐng)你說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖2，∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠C=∠D=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∵由折疊可得∠APO=∠B=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠2=∠3，

又∵∠D=∠C，

∴△OCP∽△PDA，

∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，

∴ = = = ，

∴CP= AD=4，

設(shè)OP=x，則CO=8﹣x，

在Rt△PCO中，∠C=90°，

由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，

解得：x=5，

∴AB=AP=2OP=10，

∴邊AB的長(zhǎng)為10；

（2）

解：①作圖如下：

；

②作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，如圖1．

∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．

∴∠APB=∠MQP．

∴MP=MQ．

∵M(jìn)P=MQ，ME⊥PQ，

∴PE=EQ= PQ．

∵BN=PM，MP=MQ，

∴BN=QM．

∵M(jìn)Q∥AN，

∴∠QMF=∠BNF．

在△MFQ和△NFB中，

，

∴△MFQ≌△NFB．

∴QF=BF．

∴QF= QB．

∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB．

由（1）中的結(jié)論可得：

PC=4，BC=8，∠C=90°．

∴PB= =4 ．

∴EF= PB=2 ．

∴當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中，線段EF的長(zhǎng)度不變，長(zhǎng)度為2 ．

【解析】（1）根據(jù)相似三角形△OCP∽△PDA的性質(zhì)求出PC長(zhǎng)以及AP與OP的關(guān)系，然后在Rt△PCO中運(yùn)用勾股定理求出OP長(zhǎng)，從而求出AB長(zhǎng)；（2）①根據(jù)題意作出圖形；②由邊相等常常聯(lián)想到全等，但BN與PM所在的三角形并不全等，且這兩條線段的位置很不協(xié)調(diào)，可通過作平行線構(gòu)造全等，然后運(yùn)用三角形全等及等腰三角形的性質(zhì)即可推出EF是PB的一半，只需求出PB長(zhǎng)就可以求出EF長(zhǎng)．