Question

【題目】如圖，已知△ABC中，∠C=90°，D為AB的中點，E、F分別在AC、BC上，且DE⊥DF.

求證：AE2＋BF2=EF2.

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

過點A作AM∥BC，交FD延長線于點M，連接EM，根據平行線的性質得到∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B，通過“邊角邊”證明△ADM≌△BDF，則AM=BF，MD=DF，再根據“三線合一”得到EF=EM，在Rt△AEM中利用勾股定理即可得證.

證明：過點A作AM∥BC，交FD延長線于點M，連接EM，

∵AM∥BC，
∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B，
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF（SAS），
∴AM=BF，MD=DF，
又∵DE⊥DF，

∴EF=EM，
∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2．