Question

【題目】如圖①，已知直線l1、l2，直線l3和直線l1、l2交于點C和D，在直線l3上有動點P（點P與點C、D不重合），點A在直線l1上，點B在直線l2上．

（1）如果點P在C、D之間運動時，且滿足∠1+∠3＝∠2，請寫出l1與l2之間的位置關系 ；

（2）如圖②如果l1∥l2，點P在直線l1的上方運動時，試猜想∠1+∠2與∠3之間關系并給予證明；

（3）如果l1∥l2，點P在直線l2的下方運動時，請直接寫出∠PAC、∠PBD、∠APB之間的關系．

Answer 1

【答案】（1）l1∥l2；（2）∠1+∠2＝∠3；理由見解析；（3）∠APB+∠PBD＝∠PAC．

【解析】

（1）延長BP交AC于E，則∠2為△APE的外角，所以∠2＝∠1+∠AEP，又因為∠2＝∠1+∠3，等量代換∠3＝∠AEP，根據內錯角相等兩直線平行，可知l1∥l2，（2）同（1）利用三角形的外角性質及平行線的性質可得∠1+∠2＝∠3，（3）過點P作PF∥l1，根據平行于同一條直線的兩直線平行，可得PF∥l2，再由平行線的性質進而可得∠APB+∠PBD＝∠PAC．

證明：（1）l1∥l2.理由如下，

如圖①，延長BP交AC于E，

∵∠2＝∠1+∠3，∠2＝∠1+∠AEP，

∴∠3＝∠AEP，

∴l1∥l2，

故答案為：l1∥l2.

（2）如圖②所示，當點P在線段DC的延長線上時，∠1+∠2＝∠3，

理由是：∵l1∥l2，

∴∠CEP＝∠3

∵∠CEP＝∠1+∠2，

∴∠1+∠2＝∠3.

（3）如圖③所示，當點P在直線l2的下方運動時，∠APB+∠PBD＝∠PAC．

理由：過點P作PF∥l1，

∠FPA＝∠1．

∵l1∥l2，

∴PF∥l2，

∴∠FPB＝∠3，

∴∠FPA＝∠2+∠FPB＝∠2+∠3.

即∠APB+∠PBD＝∠PAC．