Question

【題目】如圖1,直線AB分別與x軸、y軸交于A、B兩點,OC平分∠AOB交AB于點C,點D為線段AB上一點,過點D作DE//OC交y軸于點E,已知AO=m,BO=n,且m、n滿足n2-12+36+|n-2m|=0.

（1）求A、B兩點的坐標?
（2）若點D為AB中點,求OE的長?
（3）如圖2,若點P(x,-2x+6)為直線AB在x軸下方的一點,點E是y軸的正半軸上一動點,以E為直角頂點作等腰直角△PEF,使點F在第一象限,且F點的橫、縱坐標始終相等,求點P的坐標.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵

∴

∵ ，

∴ ,

∴ m=3，n=6

∴點A為（3,0），點B為（0,6）

（2）解：延長DE交x軸于點F，延長FD到點G，使得DG=DF，連接BG

設OE=x

∵OC平分∠AOB

∴∠BOC=∠AOC=45°

∵DE∥OC

∴∠EFO=∠FEO=∠BEG=∠BOC=∠AOC=45°

∴OE=OF=x

在△ADF和△BDG中

∵

∴△ADF≌△BDG（SAS）

∴BG=AF=3+x，∠G=∠AFE=45°

∴∠G=∠BEG=45°

∴BG=BE=6-x

∴6-x=3+x

解得：x=1.5

∴OE=1.5

（3）解：分別過點F、P作FM⊥y軸于點M，PN⊥y軸于點N

設點E為（0，m）

∵點P的坐標為（x，-2x+6）

則PN=x，EN=m+2x-6

∵∠PEF=90°

∴∠PEN+∠FEM=90°

∵FM⊥y軸

∴∠MFE+∠FEM=90°

∴∠PEN=∠MFE

在△EFM和△PEN中

∵

∴△EFM≌△PEN（AAS）

∴ME=NP=x，FM=EN=m+2x-6

∴點F為（m+2x-6，m+x）

∵F點的橫坐標與縱坐標相等

∴m+2x-6=m+x

解得：x=6

∴點P為（6，-6）

【解析】（1）根據題意得到平方+絕對值=0，由平方和絕對值的非負性，得到n-6=0，n-2m=0；得到點A、點B的坐標；（2）根據角平分線和平行線的性質，再由SAS得到△ADF≌△BDG，得到對應邊、對應角相等，求出OE的值；（3）根據圖形和已知條件，由AAS得到△EFM≌△PEN，得到對應邊相等，由F點的橫坐標與縱坐標相等，求出點P的坐標.