Question

【題目】將一副三角板按如圖所示的方式擺放，其中△ABC為含有45°角的三角板，直線AD是等腰直角三角板的對稱軸，且斜邊上的點D為另一塊三角板DMN的直角頂點，DM、DN分別交AB、AC于點E、F．則下列四個結論：①BD＝AD＝CD；②△AED≌△CFD；③BE+CF＝EF；④S四邊形AEDF＝BC2．其中正確結論是_____（填序號）．

Answer 1

【答案】①②

【解析】

根據等腰直角三角形的性質可得AD=CD=BD，∠CAD=∠B=45°，故①正確；根據同角的余角相等求出∠CDF=∠ADE，然后利用“ASA”證明△ADE≌△CDF，判斷出②，根據全等三角形的對應邊相等，可得DE=DF=AF=AE，利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊，可得BE+CF＞EF，判斷出③，根據全等三角形的面積相等，可得S△ADF=S△BDE，從而求出四邊形AEDF的面積，判斷出④.

∵∠B=45°，AB=AC

∴點D為BC的中點，

∴AD=CD=BD

故①正確；

由AD⊥BC，∠BAD=45°

可得∠EAD=∠C

∵∠MDN是直角

∴∠ADF+∠ADE=∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°

∴∠ADE=∠CDF

∴△ADE≌△CDF（ASA）

故②正確；

∴DE=DF，AE=CF，

∴AF=BE

∴BE+AE=AF+AE

∴AE+AF＞EF

故③不正確；

由△ADE≌△CDF可得S△ADF=S△BDE

∴S四邊形AEDF=S△ACD=×AD×CD=×BC×BC=BC2，

故④不正確.

故答案為：①②.