Question

【題目】如圖△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中點，點P從B出發，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA勻速向點A運動，點Q同時以1厘米/秒的速度從D出發，沿DB勻速向點B運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，設它們運動的時間為t秒．
（1）若a=2，△BPQ∽△BDA，求t的值；
（2）設點M在AC上，四邊形PQCM為平行四邊形． ①若a= ，求PQ的長；
②是否存在實數a，使得點P在∠ACB的平分線上？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，D是BC的中點，

∴BD=CD= BC=6cm，

∵a=2，

∴BP=2tcm，DQ=tcm，

∴BQ=BD﹣QD=6﹣t（cm），

∵△BPQ∽△BDA，

∴ ，

即 ，

解得：t=

（2）解：①過點P作PE⊥BC于E，

∵四邊形PQCM為平行四邊形，

∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，

∴PB：AB=CM：AC，

∵AB=AC，

∴PB=CM，

∴PB=PQ，

∴BE= BQ= （6﹣t）cm，

∵a= ，

∴PB= tcm，

∵AD⊥BC，

∴PE∥AD，

∴PB：AB=BE：BD，

即 ，

解得：t= ，

∴PQ=PB= t= （cm）；

②不存在．理由如下：

∵四邊形PQCM為平行四邊形，

∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，

∴PB：AB=CM：AC，

∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ．

若點P在∠ACB的平分線上，則∠PCQ=∠PCM，

∵PM∥CQ，

∴∠PCQ=∠CPM，

∴∠CPM=∠PCM，

∴PM=CM，

∴四邊形PQCM是菱形，

∴PQ=CQ，PM∥CQ，

∴PB=CQ，PM：BC=AP：AB，

∵PB=atcm，CQ=CD+QD=6+t（cm），

∴PM=CQ=6+t（cm），AP=AB﹣PB=10﹣at（cm），

，

化簡得②：6at+5t=30③，

把①代入③得，t=﹣ ，

∴不存在實數a，使得點P在∠ACB的平分線上．

【解析】（1）由△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中點，根據等腰三角形三線合一的性質，即可求得BD與CD的長，又由a=2，△BPQ∽△BDA，利用相似三角形的對應邊成比例，即可求得t的值；（2）①首先過點P作PE⊥BC于E，由四邊形PQCM為平行四邊形，易證得PB=PQ，又由平行線分線段成比例定理，即可得方程 ，解此方程即可求得答案；②首先假設存在點P在∠ACB的平分線上，由四邊形PQCM為平行四邊形，可得四邊形PQCM是菱形，即可得PB=CQ，PM：BC=AP：PB，及可得方程組，解此方程組求得t值為負，故可得不存在．