Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，，AE交BC于點P，交DC的延長線于點E，點P為AE的中點.

（1）求證：點P也是BC的中點.

（2）若，且，求AP的長.

（3）在（2）的條件下，若線段AE上有一點Q，使得是等腰三角形，求的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）5；（3）4或或.

【解析】

（1）由，得∠B=∠ECP，由點P為AE的中點，得AP=EP，根據AAS可證CEPBAP，進而得到結論；

（2）在RtDCP中，利用勾股定理，可得CP的長，即BP的長，從而在RtABP中，利用勾股定理，即可求解；

（3）若是等腰三角形，分3種情況討論：①當AQ=AB時，②當BQ=AB時，③當AQ=BQ時，分別根據等腰三角形的性質和勾股定理求出AQ的值即可.

（1）∵，

∴∠B=∠ECP，

∵點P為AE的中點，

∴AP=EP，

在CEP和BAP中，

∵（對頂角相等）

∴CEPBAP（AAS）

∴BP=CP，

∴點P也是BC的中點；

（2）∵，

∴，

∴，

∴BP=CP=3，

∴在RtABP中，

（3）若是等腰三角形，分3種情況討論：

①當AQ=AB時，如圖1，

∵AB=4，

∴AQ=4；

②當BQ=AB時，如圖2，

過段B作BM⊥AE于點M，

∵在RtABP中，AB=4，BP=3，AP=5，

∴BM=，

∵在RtABM中，，

∴，

∵BQ=AB，BM⊥AE，

∴MQ=AM=，

∴AQ=2×=，

③當AQ=BQ時，

∴∠QAB=∠QBA，

∵，

∴∠QAB+∠QPB=90°，∠QBA+∠QBP=90°，

∴∠QPB=∠QBP，

∴BQ=PQ，

∴AQ= BQ=PQ=AP=×5=；

綜上所述，AQ的長為：4或或.