Question

【題目】如圖，在ABCD中，∠ABD的平分線BE交AD于點E，∠CDB的平分線DF交BC于點F．

（1）求證：△ABE≌△CDF；

（2）若AB=DB，求證：四邊形DFBE是矩形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）首先根據(jù)角平分線性質(zhì)與平行線性質(zhì)證明∠ABD=∠CDB，再根據(jù)平行四邊形性質(zhì)證出CD=AB，∠A=∠C，可利用ASA定理判定△ABE≌△CDF；

（2）根據(jù)全等得出AE=CF，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四邊形DFBE是平行四邊形，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠DEB=90°，根據(jù)矩形的判定推出即可．

試題解析：（1）∵∠ABD的平分線BE交AD于點E，

∴∠ABE=∠ABD，

∵∠CDB的平分線DF交BC于點F，

∴∠CDF=∠CDB，

∵在平行四邊形ABCD中，

∴AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB，

∴∠CDF=∠ABE，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CD=AB，∠A=∠C，

即，

∴△ABE≌△CDF（ASA）；

（2）∵△ABE≌△CDF，

∴AE=CF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴DE∥BF，DE=BF，

∴四邊形DFBE是平行四邊形，

∵AB=DB，BE平分∠ABD，

∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．

∴平行四邊形DFBE是矩形．