Question

【題目】如圖1，在ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，經過點O的直線與邊AB相交于點E，與邊CD相交于點F．
（1）求證：OE=OF；
（2）如圖2，連接DE，BF，當DE⊥AB時，在不添加其他輔助線的情況下，直接寫出腰長等于 BD的所有的等腰三角形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA=OC，AB∥CD，OB=OD，

∴∠OAE=∠OCF，

在△OAE和△OCF中， ，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴OE=OF

（2）解：∵OE=OF，OB=OD，

∴四邊形DEBF是平行四邊形，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∴四邊形DEBF是矩形，

∴BD=EF，

∴OD=OB=OE=OF= BD，

∴腰長等于 BD的所有的等腰三角形為△DOF，△FOB，△EOB，△DOE

【解析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得OA=OC，AB∥CD，則可證得△AOE≌△COF（ASA），繼而證得OE=OF；（2）證明四邊形DEBF是矩形，由矩形的性質和等腰三角形的性質即可得出結論．
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質和平行四邊形的性質的相關知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分才能正確解答此題．