Question

【題目】如圖，□ABCD的對角線交于點O，點E在邊BC的延長線上，且OE=OB，連接DE．

（1）求證：△BDE是直角三角形；

（2）如果OE⊥CD，試判斷△BDE與△DCE是否相似，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）相似，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）由平行四邊形ABCD 對角線互相平分、已知條件OE=OB以及等邊對等角推知∠BED=∠OEB+∠OED=90°，則DE⊥BE，即△BDE是直角三角形；

（2）利用兩角法證得△BDE與△DCE相似．

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OB=OD，

∵OE=OB， ∴OE=OD，

∴∠OBE=∠OEB，∠ODE=∠OED，

∵∠OBE+∠OEB+∠ODE+∠OED=180°，

∴∠BED=∠OEB+∠OED=90°，

∴DE⊥BE，即△BDE是直角三角形；

（2）△BDE與△DCE相似．

理由如下：

∵OE⊥CD，

∴∠CEO＋∠DCE=∠CDE＋∠DCE=90°，

∴∠CEO=∠CDE，

∵∠OBE=∠OEB，

∴∠DBE=∠CDE，

∵∠BED=∠DEC=90°，

∴△BDE∽△DCE.