Question

【題目】（10分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE是BC邊上的高，將△ABE沿BC方向平移，使點E與點C重合，得△GFC．

（1）求證：BE=DG；

（2）若∠B=60°，當BC= AB時，四邊形ABFG是菱形；

（3）若∠B=60°，當BC= AB時，四邊形AECG是正方形．

Answer 1

【答案】(1)證明見試題解析；(2)；(3)．

【解析】

試題分析：此題主要考查了平行四邊形的性質，正方形的判定，菱形的判定，以及直角三角形的性質．關鍵是熟練掌握菱形的判定定理，以及平行四邊形的性質．（1）根據平移的性質，可得：BE=FC，再證明Rt△ABE≌Rt△CDG可得：DG=FC；即可得到BE=DG；要使四邊形ABFG是菱形，須使AB=BF；根據條件找到滿足AB=BF時，BC與AB的數量關系即可；（3）當四邊形AECG是正方形時，AE=EC，由AE=AB，可得EC=AB，再有BE=AB可得BC=AB．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB=CD．∵AE是BC邊上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成，∴CG⊥AD．AE=CG∴∠AEB=∠CGD=90°．∵在Rt△ABE與Rt△CDG中，，

∴Rt△ABE≌Rt△CDG（HL），∴BE=DG．

當BC=AB時，四邊形ABFG是菱形．證明：∵AB∥GF，AG∥BF，∴四邊形ABFG是平行四邊形．∵Rt△ABE中，∠B=60°，∴∠BAE=30°，∴BE=AB（直角三角形中30°所對直角邊等于斜邊的一半），∵BE=CF，BC=AB，∴EF=AB．∴AB=BF．∴四邊形ABFG是菱形．

（3）解：BC=AB時，四邊形AECG是正方形．∵AE⊥BC，GC⊥CB，∴AE∥GC，∠AEC=90°，∵AG∥CE，∴四邊形AECG是矩形，當AE=EC時，矩形AECG是正方形，∵∠B=60°，∴EC=AE=ABsin60°=AB，BE=AB，∴BC=AB．