Question

【題目】某學習小組在探索“各內角都相等的圓內接多邊形是否為正多邊形”時，進行如下討論：

甲同學：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內接矩形．

乙同學：我發現邊數是6時，它也不一定是正多邊形，如圖1，△ABC是正三角形， ，證明六邊形ADBECF的各內角相等，但它未必是正六邊形．

丙同學：我能證明，邊數是5時，它是正多邊形，我想…，邊數是7時，它可能也是正多邊形．

（1）請你說明乙同學構造的六邊形各內角相等；

（2）請你證明，各內角都相等的圓內接七邊形ABCDEFG（如圖2）是正七邊形；（不必寫已知，求證）

（3）根據以上探索過程，提出你的猜想．（不必證明）

Answer 1

【答案】（1）圖（1）中六邊形各角相等；（2）證明見解析（3）猜想：當邊數是奇數時（或當邊數是3，5，7，9，時），各內角相等的圓內接多邊形是正多邊形

【解析】試題分析：（1）由題圖①知∠AFC對，∠DAF對，根據已知可得，從而可以得到∠AFC=∠DAF，即可得證；

（2）根據已知條件，結合圖形不難得到=，繼而得到，同理可得到其它狐之間的相等關系，進而證明結論；

（3），根據已知條件進行分析，結合上面的結論寫出猜想即可.

試題解析：（1）由圖知∠AFC對，

∵，而∠DAF對的，

∴∠AFC=∠DAF．同理可證，其余各角都等于∠AFC，

故圖（1）中六邊形各角相等；

（2）∵∠A對，∠B對，

又∵∠A=∠B，

∴，

∴，

同理， ．

（3）猜想：當邊數是奇數時（或當邊數是3，5，7，9，時），

各內角相等的圓內接多邊形是正多邊形．