Question

【題目】閱讀發現：如圖①，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠ACB=90°，AD為∠BAC的平分線，且交BC于D，我們發現在AB上截取AE=AC，連結DE，可得AB=AC+CD（不需證明）．
（1）探究：如圖②，當∠ACB≠90°時，其他條件不變，線段AB、AC、CD又有怎樣的數量關系，寫出結果，并證明；
（2）拓展：如圖③，當∠ACB=2∠B，∠ACB≠90°時，AD為△ABC的外角∠CAF的平分線，且交BC的延長線于點D，則線段AB、AC、CD又有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：探究：AB=AC+CD．

證明：如圖2，在AB上截取AE=AC，連接ED，

∵AD為∠BAC的角平分線時，

∴∠BAD=∠CAD，

在△AED與△ACD中，

，

∴△AED≌△ACD（SAS），

∴∠AED=∠C，ED=CD，

∵∠ACB=2∠B，

∴∠AED=2∠B，

∵∠AED=∠B+∠EDB，

∴∠B=∠EDB，

∴EB=ED，

∴EB=CD，

∴AB=AE+EB=AC+CD

（2）解：拓展：AB+AC=CD．

理由：如圖3，在BA的延長線上截取AE=AC，連接ED．

∵AD平分∠FAC，

∴∠EAD=∠CAD，

在△AED與△ACD中，

，

∴△AED≌△ACD（SAS），

∴ED=CD，∠AED=∠ACD，

∴∠FED=∠ACB，

又∵∠ACB=2∠B，

∴∠FED=2∠B，

又∵∠FED=∠B+∠EDB，

∴∠EDB=∠B，

∴EB=ED，

∴EA+AB=EB=ED=CD，

∴AC+AB=CD．

【解析】（1）探究：在AB上截取AE=AC，連接ED，由AD為∠BAC的角平分線時，得到∠BAD=∠CAD，通過△AED≌△ACD得到∠AED=∠C，ED=CD，由已知得到∠B=∠EDB，根據等腰三角形的性質得到EB=ED，即可得解；（2）拓展：在BA的延長線上截取AE=AC，連接ED，由AD為∠BAC的角平分線時，得到∠BAD=∠CAD，通過△AED≌△ACD得到∠AED=∠C，ED=CD，由已知得到∠B=∠EDB，根據等腰三角形的性質得到EB=ED，即可得解．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等腰直角三角形和角的平分線的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線．