Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A(1，4)，點B(3，2)，連接OA，OB．

（1）求直線OB與AB的解析式；

（2）求△AOB的面積．

（3）下面兩道小題，任選一道作答．作答時，請注明題號，若多做，則按首做題計入總分．

①在y軸上是否存在一點P，使△PAB周長最小．若存在，請直接寫出點P坐標；若不存在，請說明理由．

②在平面內是否存在一點C，使以A，O，C，B為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，請直接寫出點C坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線OB的解析式為，直線AB的解析式為y= -x+5（2）5；（3）①存在，(0，)；②存在，(2，-2)或(4，6)或(-2，2)

【解析】

（1）根據題意分別設出兩直線的解析式，代入直線上兩點坐標即可求出直線OB與AB的解析式；

（2）延長線段AB交x軸于點D，求出D的坐標，分別求出、由即可求得；

（3）①根據兩點之間線段最短，A、B在y軸同側，作出點A關于y的對稱點，連接B與y軸的交點即為所求點P；

②使以A，O，C，B為頂點的四邊形是平行四邊形，則分三種情況分析，分別以OA、AB、OB為對角線作出平行四邊形，利用中點坐標公式代入求解即可．

解：（1）設直線OB的解析式為y=mx，

∵點B(3，2)，

∴ ，

∴直線OB的解析式為，

設直線AB的解析式為y=kx+b，

根據題意可得：

解之得

∴直線AB的解析式為y= -x+5．

故答案為：直線OB的解析式為，直線AB的解析式為y= -x+5；

（2）如圖，延長線段AB交x軸于點D，

當y=0時，-x+5=0，x=5，

∴點D橫坐標為5，OD=5，

∴，

∴，

故答案為：5．

（3）①存在，(0，)；

過點A作y軸的對稱點，連接B，交y軸與點P，則點P即為使△PAB周長最小的點，

由作圖可知，點坐標為，又點B（3，2）

則直線B的解析式為：，

∴點P坐標為，

故答案為：；

②存在． 或或．

有三種情況，如圖所示：設點C坐標為，

當平行四邊形以AO為對角線時，

由中點坐標公式可知，AO的中點坐標和BC中點坐標相同，

∴

解得

∴點坐標為，

當平行四邊形以AB為對角線時，AB的中點坐標和OC的中點坐標相同，則

∴點的坐標為，

當平行四邊形以BO為對角線時，BO的中點坐標和AC的中點坐標相同，則

解得

∴點坐標為，

故答案為：存在，或或．