Question

【題目】已知拋物線p：y=ax2+bx+c的頂點為C，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B左側），點C關于x軸的對稱點為C′，我們稱以A為頂點且過點C′，對稱軸與y軸平行的拋物線為拋物線p的“夢之星”拋物線，直線AC′為拋物線p的“夢之星”直線．若一條拋物線的“夢之星”拋物線和“夢之星”直線分別是y=x2+2x+1和y=2x+2，則這條拋物線的解析式為____．

Answer 1

【答案】：y= x2-2x-3．

【解析】先求出y=x2-2x+1和y=2x-2的交點C′的坐標為（1，4），再求出“夢之星”拋物線y=x2+2x+1的頂點A坐標（-1，0），接著利用點C和點C′關于x軸對稱得到C（1，-4），則可設頂點式y=a（x-1）2-4然后把A點代入求出a的值即可得到原拋物線解析式.

解：∵y=x2-2x+1=（x+1）2，∴點A的坐標為（-1，0），

解方程組得或，

∴C′的坐標為（1，4），

∵點C和點C′關于x軸對稱，

C（1，-4），

設原拋物線的解析式為y=a（x-1）2-4，

把A（-1，0）代入求得4a-4=0，解得a=1，

∴原拋物線的解析式為y=a（x-1）2-4=x2-2x-3．

故答案為：y= x2-2x-3．