Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點C的直線m∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線m于點E，垂足為點F，連接CD，BE．

（1）求證：CE=AD；
（2）當點D是AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；
（3）當∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？（不需要證明）

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵直線m∥AB，

∴EC∥AD．

又∵∠ACB=90°，

∴BC⊥AC．

又∵DE⊥BC，

∴DE∥AC．

∵EC∥AD，DE∥AC，

∴四邊形ADEC是平行四邊形．

∴CE=AD

（2）

當點D是AB中點時，四邊形BECD是菱形．

證明：∵D是AB中點，DE∥AC（已證），

∴F為BC中點，

∴BF=CF

∵直線m∥AB，

∴∠ECF=∠DBF．

∵∠BFD=∠CFE，

∴△BFD≌△CFE

∴DF=EF．

∵DE⊥BC，

∴BC和DE垂直且互相平分．

∴四邊形BECD是菱形

（3）

當∠A的大小是45°時，四邊形BECD是正方形．

理由是：∵∠ACB=90°，∠A=45°，

∴∠ABC=∠A=45°，

∴AC=BC，

∵D為BA中點，

∴CD⊥AB，

∴∠CDB=90°，

∵四邊形BECD是菱形，

∴四邊形BECD是正方形，

即當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形

【解析】（1）由BC⊥AC，DE⊥BC，得到DE∥AC，從而判斷出四邊形ADEC是平行四邊形．即可，（2）先判斷出△BFD≌△CFE，再判斷出BC和DE垂直且互相平分，得到四邊形BECD是菱形．（3）先判斷出∠CDB=90°，從而得到有一個角是直角的菱形是正方形．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平行四邊形的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．