Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=5cm，BC=3cm，AC=4cm，若動點P從點C開始，按C→A→B的路徑運動，且速度為每秒2cm，設出發的時間為t秒

（1）請判斷△ABC的形狀，說明理由.

（2）當t= 時，△BCP是以BC為腰的等腰三角形.

（3）另有一點Q，從點C開始，按C→B→A→C的路徑運動，且速度為每秒1cm，若P、Q兩點同時出發，當P、Q中有一點到達終點時，另一點也停止運動．當t為何值時，P、Q兩點之間的距離為？

Answer 1

【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由見解析；

（2）t=1.5或2.7或3；

（3）t=1或t=

【解析】試題分析：（1）直接利用勾股定的逆定理得出△ABC是直角三角形；

（2）由于動點P從點C開始，按C→A→B的路徑運動，故應分點P在AC上與AB上兩種情況進行討論；

（3）當P、Q兩點之間的距離為時，分三種情況討論：點P在AC上，點Q在BC上；點P、Q均在AB上運動，且點P在點Q的左側；點P、Q均在AB上運動，且點P在點Q的右側，分別求得t的值并檢驗即可．

試題解析：（1）∵AB=5，BC=3，AC=4

∴AC2+BC2= AB2

∴△ABC是直角三角形

（2）如圖，當點P在AC上時，CP=CB=3，則t=3÷2=1.5秒；

如圖，當點P在AB上時，分兩種情況：

若BP=BC=3，則AP=2，

故t=(4+2)÷2=3秒；

若CP=CB=3，作CM⊥AB于M，則

×AB×MC=×BC×AC，

×5×MC=×3×4，

解得CM=2.4，

∴由勾股定理可得PM=BM=1.8，即BP=3.6，

∴AP=1.4，

故t=(4+1.4)÷2=2.7秒.

綜上所述，當t=1.5、3或2.7時，△BCP是以BC為腰的等腰三角形。

故答案為：t=1.5或2.7或3；

（3）①如圖,當點P在AC上,點Q在BC上運動時(0t2)，

由勾股定理可得：(2t) +t=5，

解得t=1；

②如圖,當點P、Q均在AB上運動,且點P在點Q的左側時(3t<4)，

由題可得：12－3t=，

解得t=；

③當點P、Q均在AB上運動,且點P在點Q的右側時(4<t4.5)，

由題可得：2t+t12=，

解得t=，

∵t=>4.5，

∴不成立，舍去．

綜上所述,當t為1秒或秒時,P、Q兩點之間的距離為.