Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）與x軸交于A、B兩點，點A在x軸的負半軸上，點B在x軸的正半軸上，又此拋物線交y軸于點C，連AC、BC，且滿足△OAC的面積與△OBC的面積之差等于兩線段OA與OB的積（即S_△OAC-S_△OBC=OA•OB）
（1）求b的值；
（2）若tan∠CAB=

1

2

，拋物線的頂點為點P，是否存在這樣的拋物線，使得△PAB的外接圓半徑為

13

4

？若存在，求出這樣的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可根據S_△OAC-S_△OBC=OA•OB來求解，先用OA、OC、OB的長，表示出△OAC、△OBC的面積，然后根據韋達定理即可求出b的值．
（2）先根據tan∠CAB的值，在直角三角形AOC中，用OC表示出OA的長，即可得出A點的坐標，將A的坐標代入拋物線的解析式中，可將拋物線解析式中的待定系數減少為1個，然后用這個待定系數表示出P、B點的坐標，即可得出AB的長，如果過P作拋物線的對稱軸交x軸于M，交圓于N，那么△PAB的外心必在PN（拋物線的對稱軸）上，那么可根據相交弦定理得出AM•BM=PM•MN，據此可求出拋物線中的待定系數，由此可得出拋物線的解析式．

解答：解：（1）設A（x₁，0）、B（x₂，0），由題設可求得C點的坐標為（0，c）
且x₁＜0，x₂＞0
∵a＜0，
∴c＞0
由S_△AOC-S_△BOC=OA×OB
得：-

1

2

x₁c-

1

2

x₂c=-x₁x₂
得：

1

2

c（-

b

a

）=

c

a

得：b=-2

（2）設拋物線的對稱軸與x軸交于點M，與△PAB的外接圓交于點N
∵tan∠CAB=

1

2

∴OA=2•OC=2c
∴A點的坐標為（-2c，0）
∵A點在拋物線上，
∴x=-2c，
y=0代入y=ax²-2x+c
得a=-

5

4c

又∵x₁、x₂為方程ax²-2x+c=0的兩根
∴x1+x2=-

b

a

=

2

a

即-2c+x2=

2

a

=-

8

5

c
∴x2=

2

5

c
∴B點的坐標為(

2

5

c，0)
∴頂點P的坐標為（-

4

5

c，

9

5

c）
由相交弦定理得：AM•BM=PM•MN
又∵AB=

12

5

c，
∴AM=BM=

6

5

c，PM=

9

5

c
∴（

6

5

c）²=

9

5

c（

13

2

-

9

5

c）
∴c=

5

2

，a=-

1

2

（9分）
∴所求拋物線的函數解析式是：y=-

1

2

x²-2x+

5

2

．

點評：本題考查了二次函數解析式的確定，韋達定理，相交弦定理等知識點．綜合性較強，考查學生數形結合的數學思想方法．