Question

【題目】（問題探究）

將三角形紙片沿折疊，使點A落在點處.

（1）如圖，當點A落在四邊形的邊上時，直接寫出與之間的數量關系；

（2）如圖，當點A落在四邊形的內部時，求證：；

（3）如圖，當點A落在四邊形的外部時，探索，，之間的數量關系，并加以證明；

（拓展延伸）

（4）如圖，若把四邊形紙片沿折疊，使點A、D落在四邊形的內部點、的位置，請你探索此時，，，之間的數量關系，寫出你發現的結論，并說明理由.

Answer 1

【答案】【問題探究】（1）∠1=2∠A；（2）證明見詳解；（3）∠1=2∠A+∠2；【拓展延伸】（4）.

【解析】

（1）運用折疊原理及三角形的外角性質即可解決問題，
（2）運用折疊原理及四邊形的內角和定理即可解決問題，
（3）運用三角形的外角性質即可解決問題，

（4）先根據翻折的性質求出∠AEF、∠EFD，再根據四邊形的內角和定理列式整理即可得解．

解：（1）如圖，∠1=2∠A．
理由如下：由折疊知識可得：∠EA′D=∠A；
∵∠1=∠A+∠EA′D，∴∠1=2∠A．

（2）∵∠1+∠A′EA+∠2+∠A′DA=360°，
由四邊形的內角和定理可知：∠A+∠A′+∠A′EA+∠A′DA=360°，
∴∠A′+∠A=∠1+∠2，
由折疊知識可得∠A=∠A′，
∴2∠A=∠1+∠2．

（3）如圖，∠1=2∠A+∠2
理由如下：∵∠1=∠EFA+∠A，∠EFA=∠A′+∠2，
∴∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A+∠2，

（4）如圖，

根據翻折的性質，，，

∵，

∴，

整理得，．