Question

【題目】（12分）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點，B點的坐標為(3，0)，與y軸交于點，點P是直線BC下方拋物線上的一個動點．

（1）求二次函數解析式；

（2）連接PO，PC，并將△POC沿y軸對折，得到四邊形.是否存在點P，使四邊形為菱形？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3） ， .

【解析】試題分析：（1）利用待定系數法，將B、C的坐標代入拋物線的解析式中即可求得待定系數的值，問題就可得解；

（2）作PE⊥CO于E，由于菱形的對角線互相垂直平分，若四邊形POP′C為菱形，那么P點必在OC的垂直平分線上，據此，可求出直線PE的解析式，聯立拋物線的解析式，即可求出P點的坐標；

（3）由于△ABC的面積為定值，當四邊形ABPC的面積最大時，△BPC的面積最大，過P作y軸的平行線，交直線BC于Q，交x軸于F，易求得直線BC的解析式，可設出P點的橫坐標，然后根據拋物線和直線BC的解析式求出Q、P的縱坐標，即可得到PQ的長，以PQ為底，B點橫坐標的絕對值為高即可求得△BPC的面積，由此，可得到關于四邊形ACPB的面積與P點橫坐標的函數關系式，再根據函數的性質即可求出四邊形ABPC的最大面積及對應的P點坐標.

試題解析：（1）將B、C兩點的坐標代入，得

解之，得

所以二次函數的解析式為.

（2）如圖1，假設拋物線上存在點P，使四邊形為菱形，連接交CO于點E．

∵四邊形為菱形，

∴PC=PO，且PE⊥CO．

∴OE=EC=，即P點的縱坐標為

由=，得

（不合題意，舍去）

所以存在這樣的點，此時P點的坐標為（， ）.

（3）如圖2，連接PO，作PM⊥x于M，PN⊥y于N．設P點坐標為（x， ），

由=0，得點A坐標為（－1，0）.

∴AO=1，OC=3， OB=3，PＭ=，PN＝x．

∴S四邊形ABPC=++

=AO·OC+OB·PM+OC·PN

=×1×3+×3×()+×3×x

=

=.

易知，當x=時，四邊形ABPC的面積最大．此時P點坐標為（， ），四邊形ABPC的最大面積為.