Question

【題目】D為等腰Rt△ABC斜邊AB的中點，DM⊥DN，DM，DN分別交BC，CA于點E，F．

（1）當∠MDN繞點D轉動時，求證：DE=DF．

（2）若AB=2，求四邊形DECF的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析．（2）。

【解析】分析：（1）連CD，根據等腰直角三角形的性質得到CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，則∠BCD=45°，∠CDA=90°，由DM⊥DN得∠EDF=90°，根據等角的余角相等得到∠CDE=∠ADF，根據全等三角形的判定易得△DCE≌△ADF，即可得到結論；（2）由△DCE≌△ADF，則S△DCE=S△ADF，于是四邊形DECF的面積=S△ACD，由而AB=2可得CD=DA=1，根據三角形的面積公式易求得S△ACD，從而得到四邊形DECF的面積．

本題解析:

（1）連CD，如圖，

∵D為等腰Rt△ABC斜邊AB的中點，

∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，

∴∠BCD=45°，∠CDA=90°，

∵DM⊥DN，

∴∠EDF=90°，

∴∠CDE=∠ADF，

在△DCE和△ADF中，

，

∴△DCE≌△ADF（ASA），

∴DE=DF；

（2）∵△DCE≌△ADF，

∴S△DCE=S△ADF，

∴四邊形DECF的面積=S△ACD，

而AB=2，

∴CD=DA=1，

∴四邊形DECF的面積=S△ACD=CDDA=．