Question

【題目】如圖1，⊙O的直徑AB為4，C為⊙O上一個定點，∠ABC=30°，動點P從A點出發沿半圓弧向B點運動（點P與點C在直徑AB的異側)，當P點到達B點時運動停止，在運動過程中，過點C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點.

（1）求證：△ABC∽△PDC

（2）如圖2，當點P到達B點時，求CD的長；

（3）設CD的長為.在點P的運動過程中，的取值范圍為 （請直接寫出答案）.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）6；（3）

【解析】試題分析：（1）利用圓周角定理得出∠ACB=90°，進而得出∠ACB=∠PCD和∠A=∠P，從而得解；

（2）先求出BC，根據三角形相似可求CD的長；

（3）如圖中，由題意可知CD=PCtan60°，所以只要求出PC的最小值和最大值即可解決問題．

試題解析：（1）∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠PCD，

又∵∠A=∠P，

∴△ABC∽△PDC

（2）∵∠ABC=30°，AB=4，

∴BC=，

∵△ABC∽△PDC，

∴∠D=∠ABC=30°，

∴CD=6

（3）如圖，

∵AB是直徑，∠ABC=30°，AB=4
∴∠ACB=90°，∠A=∠P=60°，AC=2，
∵CD⊥PC，
∴∠PCD=90°，CD=PCtan60°，
∵PC的最小值=AC=2，PC的最大值為直徑=4，
∴CD的最小值為2，最大值為4，
∴2≤CD≤4．