Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC交于點D，過點D作∠ABD=∠ADE，交AC于點E．

(1)求證：DE為⊙O的切線．

(2)若⊙O的半徑為，AD=，求CE的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)CE=3．

【解析】

（1）求出∠ADO+∠ADE=90°，推DE⊥OD，根據切線的判定推出即可；

（2）求出CD，AC的長，證△CDE∽△CAD，得出比例式，求出結果即可．

(1)連接OD，

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADO+∠BDO=90°，

∵OB=OD，

∴∠BDO=∠ABD，

∵∠ABD=∠ADE，

∴∠ADO+∠ADE=90°，

即，OD⊥DE，

∵OD為半徑，

∴DE為⊙O的切線；

(2)∵⊙O的半徑為，

∴AB=2OA==AC，

∵∠ADB=90°，

∴∠ADC=90°，

在Rt△ADC中，由勾股定理得：DC===5，

∵∠ODE=∠ADC=90°，∠ODB=∠ABD=∠ADE，

∴∠EDC=∠ADO，

∵OA=OD，

∴∠ADO=∠OAD，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴∠OAD=∠CAD，

∴∠EDC=∠CAD，

∵∠C=∠C，

∴△CDE∽△CAD，

∴=，

∴=，

解得：CE=3．