Question

【題目】如圖1，反比例函數y= （x＞0）的圖象經過點A（2 ，1），射線AB與反比例函數圖象交于另一點B（1，a），射線AC與y軸交于點C，∠BAC=75°，AD⊥y軸，垂足為D．
（1）求k的值；
（2）求tan∠DAC的值及直線AC的解析式；
（3）如圖2，
M是線段AC上方反比例函數圖象上一動點，過M作直線l⊥x軸，與AC相交于點N，連接CM，求△CMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（2 ，1）代入y=

得k=2 ×1=2

（2）解：作BH⊥AD于H，如圖1，

把B（1，a）代入反比例函數解析式y=

得a=2 ，

∴B點坐標為（1，2 ），

∴AH=2 ﹣1，BH=2 ﹣1，

∴△ABH為等腰直角三角形，

∴∠BAH=45°，

∵∠BAC=75°，

∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，

∴tan∠DAC=tan30°= ；

∵AD⊥y軸，

∴OD=1，AD=2 ，

∵tan∠DAC= = ，

∴CD=2，

∴OC=1，

∴C點坐標為（0，﹣1），

設直線AC的解析式為y=kx+b，

把A（2 ，1）、C（0，﹣1）代入

得 ，

解 ，

∴直線AC的解析式為y= x﹣1

（3）解：設M點坐標為（t， ）（0＜t＜2 ），

∵直線l⊥x軸，與AC相交于點N，

∴N點的橫坐標為t，

∴N點坐標為（t， t﹣1），

∴MN= ﹣（ t﹣1）= ﹣ t+1，

∴S△CMN= t（ ﹣ t+1）

=﹣ t2+ t+

=﹣ （t﹣ ）2+ （0＜t＜2 ），

∵a=﹣ ＜0，

∴當t= 時，S有最大值，最大值為

【解析】（1）根據反比例函數圖象上點的坐標特征易得k=2 ；（2）作BH⊥AD于H，如圖1，根據反比例函數圖象上點的坐標特征確定B點坐標為（1，2 ），則AH=2 ﹣1，BH=2 ﹣1，可判斷△ABH為等腰直角三角形，所以∠BAH=45°，得到∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，根據特殊角的三角函數值得tan∠DAC= ；由于AD⊥y軸，則OD=1，AD=2 ，然后在Rt△OAD中利用正切的定義可計算出CD=2，易得C點坐標為（0，﹣1），于是可根據待定系數法求出直線AC的解析式為y= x﹣1；（3）利用M點在反比例函數圖象上，可設M點坐標為（t， ）（0＜t＜2 ），由于直線l⊥x軸，與AC相交于點N，得到N點的橫坐標為t，利用一次函數圖象上點的坐標特征得到N點坐標為（t， t﹣1），則MN= ﹣ t+1，根據三角形面積公式得到S△CMN= t（ ﹣ t+1），再進行配方得到S=﹣ （t﹣ ）2+ （0＜t＜2 ），最后根據二次函數的最值問題求解．
【考點精析】通過靈活運用一次函數的性質和二次函數的最值，掌握一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減�。蝗绻�自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a即可以解答此題．