Question

【題目】倡導研究性學習方式，著力教材研究，習題研究，是學生跳出題海，提高學習能力和創新能力的有效途徑．下面是一案例，請同學們認真閱讀、研究，完成“類比猜想”及后面的問題．

習題解答

習題：如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，說明理由．

解：

∵正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°

∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADE′，點F、D、E′在一條直線上．

∴∠E′AF=90°-45°=45°=∠EAF．

又∵AE′=AE，AF=AF

∴△AE′FF≌△AEF（SAS）

∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF．

習題研究．

觀察分析：

觀察圖1，由解答可知，該題有用的條件是①．ABCD是四邊形，點E、F分別在邊BC、CD上；②．AB=AD；③．∠B=∠D=90°∠；④．∠EAF=∠BAD．

類比猜想：

在四邊形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，當AB=AD，∠B=∠D時，還有EF=BE+DF嗎？

要解決上述問題，可從特例入手，請同學們思考：如圖2，在菱形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，當∠BAD=120°，∠EAF=60°時，還有EF=BE+DF嗎？試證明．

（2）在四邊形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，當AB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=∠BAD時，還有EF=BE+DF嗎？使用圖3證明．

歸納概括：

反思前面的解答，思考每個條件的作用，可以得到一個結論“EF=BE+DF”的一般命題： ．

Answer 1

【答案】答案見解析.

【解析】

試題分析：（1）把△ABE繞點A逆時針旋轉120°至△ADE′，如圖（2），連結E′F，根據菱形和旋轉的性質得到AE=AE′，∠EAF=∠E′AF，利用“SAS”證明△AEF≌△AE′F，得到EF=E′F；由于∠ADE′+∠ADC=120°，則點F、D、E′不共線，所以DE′+DF＞EF，即由BE+DF＞EF；

（2）把△ABE繞點A逆時針旋轉∠BAD的度數至△ADE′，如圖（3），根據旋轉的性質得到AE′=AE，∠EAF=∠E′AF，然后利用“SAS”證明△AEF≌△AE′F，得到EF=E′F，由于∠ADE′+∠ADC=180°，知F、D、E′共線，因此有EF=DE′+DF=BE+DF；根據前面的條件和結論可歸納出結論．

試題解析：（1）如圖（2），

當∠BAD=120°，∠EAF=60°時，EF=BE+DF不成立，EF＜BE+DF．

理由如下：

∵在菱形ABCD中，∠BAD=120°，∠EAF=60°，

∴AB=AD，∠1+∠2=60°，∠B=∠ADC=60°，

∴把△ABE繞點A逆時針旋轉120°至△ADE′，如圖（2），連結E′F，

∴∠EAE′=120°，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B=60°，

∴∠2+∠3=60°，

∴∠EAF=∠E′AF，

在△AEF和△AE′F中

，

∴△AEF≌△AE′F（SAS），

∴EF=E′F，

∵∠ADE′+∠ADC=120°，即點F、D、E′不共線，

∴DE′+DF＞EF

∴BE+DF＞EF；

（2）當AB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=∠BAD時，EF=BE+DF成立．

理由如下：如圖（3），

∵AB=AD，

∴把△ABE繞點A逆時針旋轉∠BAD的度數至△ADE′，如圖（3），

∴∠EAE′=∠BAD，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B，

∵∠B+∠D=180°，

∴∠ADE′+∠D=180°，

∴點F、D、E′共線，

∵∠EAF=∠BAD，

∴∠1+∠2=∠BAD，

∴∠2+∠3=∠BAD，

∴∠EAF=∠E′AF，

在△AEF和△AE′F中

∴△AEF≌△AE′F（SAS），

∴EF=E′F，

∴EF=DE′+DF=BE+DF；