Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA=4，OC=3，若拋物線經過O，A兩點，且頂點在BC邊上，對稱軸交AC于點D，動點P在拋物線對稱軸上，動點Q在拋物線上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當PO+PC的值最小時，求點P的坐標；

（3）是否存在以A，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出P，Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+3x；（2）當PO+PC的值最小時，點P的坐標為（2， ）；（3）存在，具體見解析.

【解析】試題分析：(1)由條件可求得拋物線的頂點坐標及A點坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

(2) 連接PA，D與P重合時有最不值，求出點D的坐標即可；

(3)存在，分別以PA，PC、PC，PQ、PA，PQ為一組鄰邊時，寫出坐標即可；

試題解析：

（1）在矩形OABC中，OA=4，OC=3，

∴A（4，0），C（0，3），

∵拋物線經過O、A兩點，且頂點在BC邊上，

∴拋物線頂點坐標為（2，3），

∴可設拋物線解析式為y=a(x﹣2)2+3，

把A點坐標代入可得0=a（4﹣2)2+3，解得a=，

∴拋物線解析式為y= (x﹣2)2+3，即y=x2+3x；

（2）連接PA，

∵點P在拋物線對稱軸上，∴PA=PO，∴PO+PC= PA+PC．

當點P與點D重合時，PA+PC= AC；

當點P不與點D重合時，PA+PC> AC；

∴當點P與點D重合時，PO+PC的值最小，

設直線AC的解析式為y=kx+b，

根據題意，得解得

∴直線AC的解析式為，

當x=2時， ，

∴當PO+PC的值最小時，點P的坐標為（2， ）；

（3）存在．當以PA，PC為一組鄰邊時，P(2，0)，Q(2，3)；

當以PC，PQ為一組鄰邊時，P(2，－6)，Q(6，－9)；

當以PA，PQ為一組鄰邊時，P(2，－12)，Q(－2，－9).