Question

【題目】如圖所示，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為點A（﹣2，3），且拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點B（0，2）．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）是否在x軸上存在點P使△PAB為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點P是x軸上任意一點，則當PA﹣PB最大時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線的頂點坐標為A（﹣2，3），∴可設拋物線的解析式為y=a（x+2）2+3．

由題意得：a（0+2）2+3=2，解得：a=﹣ ．

∴物線的解析式為y=﹣ （x+2）2+3，即y=﹣ x2﹣x+2．

（2）

解：設存在符合條件的點P，其坐標為（p，0），則

PA2=（﹣2﹣p）2+32，PB2=p2+22，AB2=（3﹣2）2+22=5

當PA=PB時，（﹣2﹣p）2+32=p2+22，解得：p=﹣ ；

當PA=AB時，（﹣2﹣p）2+32=5，方程無實數解；

當PB=AB時，p2+22=5，解得p=±1．

∴x軸上存在符合條件的點P，其坐標為（﹣ ，0）或（﹣1，0）或（1，0）．

（3）

解：∵PA﹣PB≤AB，

∴當A、B、P三點共線時，可得PA﹣PB的最大值，這個最大值等于AB，此時點P是直線AB與x軸的交點．

設直線AB的解析式為y=kx+b，則：

，解得 ．

∴直線AB的解析式為y=﹣ x+2，

當y=﹣ x+2=0時，解得x=4．

∴當PA﹣PB最大時，點P的坐標是（4，0）．

【解析】（1）通過讀題可以看出拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為點A（﹣2，3），且經過B點，所以直接將拋物線的解析式設為頂點式，然后代入B點的坐標求解即可．（2）首先設出P點的坐標，根據坐標系兩點間的距離公式分別求出PA、PB、AB的長度（或表達式），然后分PA=PB、PA=AB、PB=AB三種情況列方程求解即可．（3）當P、A、B三點不共線時，PA﹣PB＜AB（三角形三邊關系定理），三點共線時，PA﹣PB=AB，綜合來看：PA﹣PB≤AB，所以當PA﹣PB的值最大時，P、A、B三點共線，因此只需求出直線AB的解析式，該直線與x軸的交點即為符合條件的P點．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小，以及對等腰三角形的性質的理解，了解等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．