Question

已知關于x的方程kx²-（4k+1）x+4=0．
（1）當k取何值時，方程有兩個實數根；
（2）若二次函數y=kx²-（4k+1）x+4的圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數，且k為正整數，求k值并用配方法求出拋物線的頂點坐標；
（3）若（2）中的拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點．將拋物線向上平移n個單位，使平移后得到的拋物線的頂點落在△ABC的內部（不包括△ABC的邊界），寫出n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用根的判別式△≥0列式計算即可得解；
（2）令y=0，利用因式分解法解一元二次方程求解，再根據兩交點的橫坐標均為整數，k為正整數確定出k的值，從而得到二次函數的解析式，然后配方成頂點式解析式，再寫出頂點坐標即可；
（3）根據二次函數解析式求出點A、B、C的坐標，再利用待定系數法求出直線BC的解析式，然后求出與對稱軸的交點坐標，再根據平移的性質確定出n的取值范圍即可．

解答：解：（1）△=b²-4ac=[-（4k+1）]²-4×4k≥0，
整理得，（4k-1）²≥0，
∴對于k≠0的任何實數，關于x的方程kx²-（4k+1）x+4=0總有兩個實數根；

（2）令y=0，則kx²-（4k+1）x+4=0，
即（kx-1）（x-4）=0，
解得x₁=

1

k

，x₂=4，
∵函數圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數，k為正整數，
∴k=1，
∴二次函數解析式為y=x²-5x+4，
∵y=x²-5x+4，
=x²-5x+

25

4

-

25

4

+4，
=（x-

5

2

）²-

9

4

，
∴拋物線的頂點坐標為（

5

2

，-

9

4

）；

（3）由（2）得，點A（1，0），B（4，0），
令x=0，則y=4，
∴點C的坐標為（0，4），
設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

4k+b=0 b=4

，
解得

k=-1 b=4

，
∴直線BC的解析式為y=-x+4，
∵二次函數的對稱軸為直線x=

5

2

，
∴當x=

5

2

時，y=-

5

2

+4=

3

2

，
∵

3

2

-（-

9

4

）=

3

2

+

9

4

=

15

4

，
∴當拋物線的頂點落在△ABC的內部時，

9

4

＜n＜

15

4

．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要利用了根的判別式，待定系數法求二次函數解析式，待定系數法求一次函數解析式以及配方法，（1）要注意二次項的系數不等于0，（2）根據與x軸的交點的橫坐標是整數判斷出k的值是解題的關鍵，（3）求出直線BC與對稱軸的交點是解題的關鍵，作出圖形更形象直觀．