Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B（2，0）兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C（0，8）．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）若將該拋物線向下平移m個單位長度，使平移后所得拋物線的頂點落在△ABC的內部（不包括△ABC的邊界），求m的取值范圍；
（3）已知點Q在x軸上，點P在拋物線上，是否存在以A、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點B和點C的坐標代入拋物線的解析式得： ，解得： ，

∴y=﹣x2﹣2x+8．

（2）

解：y=﹣x2﹣2x+8=﹣（x+1）2+9，

∴平移后拋物線的解析式為y=﹣（x+1）2+9﹣m．

∵拋物線的對稱軸為x=﹣1，點B（2，0），

∴A（﹣4，0）．

設直線AC的解析式為y=kx+8，將點A的坐標代入得：﹣4k+8=0，解得k=2，

∴直線AC解析式為y=2x+8．

當x=﹣1時，y=6．

∵拋物線的頂點落在△ABC的內部，

∴0＜9﹣m＜6．

∴3＜m＜9．

（3）

解：設點Q的坐標為（a，0），點P（x，y）．

①當AC為對角線時．

∵四邊形APCQ為平行四邊形，

∴AC與PQ互相平分．

依據中點坐標公式可知： = ， = ．

∴x=﹣4﹣a，y=8．

∵點P在拋物線上，

∴﹣（a+4）2﹣2（﹣4﹣a）=0，解得：a=﹣2或a=﹣4（舍去）

∴點P的坐標為（﹣2，0）．

②當CP為對角線時，

∵四邊形APCQ為平行四邊形，

∴CP與AQ互相平分．

依據中點坐標公式可知： = ， = ，

∴x=a+4，y=8．

∵點P在拋物線上，

∴﹣（a+4）2﹣2（a+4）=0，解得：a=﹣6或a=﹣4（舍去）

∴點P的坐標為（﹣6，0）．

③AQ為對角線時．

∵四邊形APCQ為平行四邊形，

∴AQ與CP互相平分．

依據中點坐標公式可知： = ， = ，

∴x=﹣4+a，y=﹣8．

∵點P在拋物線上，

∴﹣（a﹣4）2﹣2（a﹣4）+16=0，整理得：a2﹣6a﹣8=0，解得：a=3+ 或a=3﹣ ．

∴點Q的坐標為（3+ ，0）或（3﹣ ，0）．

綜上所述滿足條件的點Q為（﹣2，0）或（﹣6，0）或（3+ ，0）或（3﹣ ，0）．

【解析】（1）把點B和點C的坐標代入拋物線的解析式得到關于b、c的方程組，從而可求得b、c的值，然后可得到拋物線的解析式；（2）平移后拋物線的解析式為y=﹣（x+1）2+9﹣m，然后求得直線AC的解析式y=2x+8，當x=﹣1時，y=6，最后由拋物線的頂點在△ABC的內部可得到0＜9﹣m＜6，從而可求得m的取值范圍；（3）設點Q的坐標為（a，0），點P（x，y）．分為AC為對角線、CP為對角線、AQ為對角線三種情況，依據平行四邊形對角相互平分的性質和中點坐標公式可求得x、y的值（用a的式子表示），然后將點P的坐標代入拋物線的解析式可求得a的值，從而可得到點Q的坐標．
【考點精析】利用二次函數的圖象和二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．