Question

【題目】如圖，已知矩形OABC中，OA=3，AB=4，雙曲線y= （k＞0）與矩形兩邊AB、BC分別交于D、E，且BD=2AD

（1）求k的值和點E的坐標；
（2）點P是線段OC上的一個動點，是否存在點P，使∠APE=90°？若存在，求出此時點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AB=4，BD=2AD，

∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4，

∴AD= ，

又∵OA=3，

∴D（ ，3），

∵點D在雙曲線y= 上，

∴k= ×3=4；

∵四邊形OABC為矩形，

∴AB=OC=4，

∴點E的橫坐標為4．

把x=4代入y= 中，得y=1，

∴E（4，1）；

（2）

解：（2）假設存在要求的點P坐標為（m，0），OP=m，CP=4﹣m．

∵∠APE=90°，

∴∠APO+∠EPC=90°，

又∵∠APO+∠OAP=90°，

∴∠EPC=∠OAP，

又∵∠AOP=∠PCE=90°，

∴△AOP∽△PCE，

∴ ，

∴ ，

解得：m=1或m=3，

∴存在要求的點P，坐標為（1，0）或（3，0）．

【解析】（1）由矩形OABC中，AB=4，BD=2AD，可得3AD=4，即可求得AD的長，然后求得點D的坐標，即可求得k的值，繼而求得點E的坐標；（2）首先假設存在要求的點P坐標為（m，0），OP=m，CP=4﹣m，由∠APE=90°，易證得△AOP∽△PCE，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得m的值，繼而求得此時點P的坐標．