Question

【題目】如圖1，點O是正方形ABCD兩對角線的交點. 分別延長OD到點G，OC到點E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE為鄰邊作正方形OEFG，連接AG，DE．

（1）求證：DE⊥AG；

（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉角（0°< <360°）得到正方形，如圖2．

①在旋轉過程中，當∠是直角時，求的度數；（注明：當直角邊為斜邊一半時，這條直角邊所對的銳角為30度）

②若正方形ABCD的邊長為1，在旋轉過程中，求長的最大值和此時的度數，直接寫出結果不必說明理由．

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①（1）30°或150°②AF′長的最大值是，此時α=315°.

【解析】（1）如圖1，延長ED交AG于點H．

∵O為正方形ABCD對角線的交點．∴OA=OD，OA⊥OD．

∵OG=OE，∴Rt△AOG≌Rt△DOE，∴∠AGO=∠DEO．

∵∠AGO+∠GAO=90°，∴∠DEO+∠GAO=90°，∴∠AHE=90°，即DE⊥AG．

（2）①在旋轉過程中，∠成為直角有以下兩種情況：

（i）α由0°增大到90°過程中，當∠為直角時，

∵，∴在Rt△中， ，

∴∠∵OA⊥OD，∴∠DOG′=90°－∠=30°，即α=30°．

（ii）α由90°增大到180°過程中，當∠為直角時，

同理可求的∠AOG′=30°，所以α=90°+∠=150°．

綜上，當∠為直角時，α=30°或150°．

②AF′長的最大值是，此時α=315°．理由：當AF′長的最大時，點F′在直線AC上，如圖所示：

∵AB=BC=CD=AD=1，∴AC=BD=，AO=OD=．

∴OE′=E′F′=2OD=．∴OF′=．∴AF′=AO+OF′=．

∵∠E′OF′=45°∴旋轉角α=360°-45°=315°．