Question

【題目】如圖，以AB為直徑的⊙O外接于△ABC，過A點的切線AP與BC的延長線交于點P，∠APB的平分線分別交AB，AC于點D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的長是一元二次方程x2﹣5x+6=0的兩個實數根．

（1）求證：PABD=PBAE；

（2）在線段BC上是否存在一點M，使得四邊形ADME是菱形？若存在，請給予證明，并求其面積；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，

【解析】（1）易證∠APE=∠BPD，∠EAP=∠B，從而可知△PAE∽△PBD，利用相似三角形的性質即可求出答案．

（2）過點D作DF⊥PB于點F，作DG⊥AC于點G，易求得AE=2，BD=3，由（1）可知：，從而可知cos∠BDF=cos∠BAC=cos∠APC=，從而可求出AD和DG的長度，進而證明四邊形ADFE是菱形，此時F點即為M點，利用平行四邊形的面積即可求出菱形ADFE的面積．

（1）∵PD平分∠APB，

∴∠APE=∠BPD，

∵AP與⊙O相切，

∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°，

∴∠EAP=∠B，

∴△PAE∽△PBD，

∴，

∴PABD=PBAE；

（2）如圖，過點D作DF⊥PB于點F，作DG⊥AC于點G，

∵PD平分∠APB，AD⊥AP，DF⊥PB，

∴AD=DF，

∵∠EAP=∠B，

∴∠APC=∠BAC，

易證：DF∥AC，

∴∠BDF=∠BAC，

由于AE，BD（AE＜BD）的長是x2﹣5x+6=0的兩個實數根，

解得：AE=2，BD=3，

∴由（1）可知：，

∴cos∠APC=，

∴cos∠BDF=cos∠APC=，

∴，

∴DF=2，

∴DF=AE，

∴四邊形ADFE是平行四邊形，

∵AD=DF，

∴四邊形ADFE是菱形，此時點F即為M點，

∵cos∠BAC=cos∠APC=，

∴sin∠BAC=，

∴，

∴DG=，

∴菱形ADME的面積為：DGAE=2×=.