Question

【題目】如圖，中，，點為中點，連接，于，交于，連接，點為中點，連接，以下結論：①；②；③；④平分。其中正確的結論的序號為___________。

Answer 1

【答案】③④

【解析】

作AP⊥AC交CE的延長線于P，連接CH．構造全等三角形，證明△CAP≌△BCG（ASA），△EAG≌△EAP（SAS），即可分步判斷①②③，利用四點共圓可以證明④正確．

解：如圖，作AP⊥AC交CE的延長線于P，連接CH．

∵CE⊥BG，
∴∠CFB=∠ACB=90°，
∵∠ACE+∠BCE=90°，∠CBG+∠BCE=90°，
∴∠ACE=∠CBG，
∵BG是△ABC的中線，AB＞BC，
∴∠ABG≠∠CBG，
∴∠ACE≠∠ABG，故①錯誤，
∵∠ACP=∠CBG，AC=BC，∠CAP=∠BCG=90°，
∴△CAP≌△BCG（ASA），
∴CG=PA=AG，∠BGC=∠P，
∵AG=AP，∠EAG=∠EAP=45°，AE=AE，
∴△EAG≌△EAP（SAS），
∴∠AGE=∠P，
∴∠AGE=∠CGB，故③正確，

∵，

∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC=10，
∴AG=CG=5，

∴，

∵ ，

∴，故②錯誤，

∵CA=CB，∠ACB=90°，AH=HB，
∴∠BCH=∠ACH=45°，
∵∠CFB=∠CHB=90°，
∴C，F，H，B四點共圓，
∴∠HFB=∠BCH=45°，
∴∠EFH=∠HFB=45°，
∴FH平分∠BFE，故④正確，

綜上所述，正確的只有③④.

故答案為：③④