Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，G為⊙O上一點，AG交CD于K，E為CD延長線上一點，且EK=EG，EG的延長線交AB的延長線于F．
（1）求證：EF為⊙O的切線；
（2）若DK=2HK=AK，CH= ，求圖中陰影部分的面積S．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OG，如圖1所示：

∵弦CD⊥AB于點H，

∴∠AHK=90°，

∴∠HKA+∠KAH=90°，

∵EG=EK，

∴∠EGK=∠EKG，

∵∠HKA=∠GKE，

∴∠HAK+∠KGE=90°，

∵AO=GO，

∴∠OAG=∠OGA，

∴∠OGA+∠KGE=90°，

∴GO⊥EF，

∴EF是⊙O的切線

（2）解：∵CD⊥AB，

∴DH=CH= ，

∵DK=2HK=AK，

∴∠HAK=30°，HK= DH= ，

∴AH= HK= ，

連接OD，如圖2所示：

設⊙O的半徑為R，

在Rt△ODH中，由勾股定理得：（ ）2+（R﹣ ）2=R2，

解得：R=2 ，

∴OH=OA﹣AH= = OD，

∴∠ODH=30°，△ODH的面積= OHDH= × × = ，

∴∠DOH=60°，

∴∠BOD=120°，

∴扇形OBGD的面積= = ，

∵OA=OG，

∴∠OGA=∠HAK=30°，

∴∠EGK=90°﹣30°=60°，

又∵EK=EG，

∴△GEK是等邊三角形，

∴∠E=60°，

∴∠F=90°﹣60°=30°，

∵GO⊥EF，

∴OF=2OG=4 ，

∴HF=OH+OF=5 ，

∴HE= HF= ，

∴△EFH的面積= HFHE= ×5 × = ，

∴圖中陰影部分的面積S= ﹣ ﹣ = ﹣

【解析】（1）連接OG，首先證明∠EGK=∠EKG，再證明∠HAK+∠KGE=90°，進而得到∠OGA+∠KGE=90°即GO⊥EF，進而證明EF是⊙O的切線；（2）與已知條件得出∠HAK=30°，HK= DH= ，AH= HK= ，連接OD，設⊙O的半徑為R，在Rt△ODH中，由勾股定理得出方程，解方程求出半徑，得出OH= OD，求出∠ODH=30°，△ODH的面積= ，再求出∠BOD=120°，得出扇形OBGD的面積= ，證明△GEK是等邊三角形，求出OF=2OG=4 ，得出HF=OH+OF=5 ，求出HE= ，計算出△EFH的面積，即可得出結果．
【考點精析】關于本題考查的垂徑定理和扇形面積計算公式，需要了解垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）才能得出正確答案．