Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+（k﹣1）x﹣k與直線y=kx+1交于A，B兩點，點A在點B的左側．

（1）如圖1，當k=1時，直接寫出A，B兩點的坐標；
（2）在（1）的條件下，點P為拋物線上的一個動點，且在直線AB下方，試求出△ABP面積的最大值及此時點P的坐標；
（3）如圖2，拋物線y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）與x軸交于點C、D兩點（點C在點D的左側），拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折得到與原拋物線剩余的部分組成如圖所示的圖形，若直線y=kx+1與這個圖形只有兩個公共點，請求出此時k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當k=1時，拋物線的解析式為y=x2﹣1，直線的解析式為y=x+1，

聯立直線與拋物線，得：

，

解得x1=﹣1，x2=2，

當x=﹣1時，y﹣x+1=0；當x=2時，y=x+1=3，

∴A（﹣1，0），B（2，3）

（2）

解：設P（x，x2﹣1）如下圖，

過點P作PF∥y軸，交直線AB于F，

則F（x，x+1），

PF=yF﹣yP=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2，

S△ABP=S△PFA+S△PFB= PF（xF﹣xA）+ PF（xB﹣xF） PF，

S△ABP= （﹣x2+x+2）=﹣ （x﹣ ）2+

∵當x= 時，yP=（ ）2﹣1=﹣ ，

∴△ABP面積的最大值為 ，

此時點P的坐標（ ，﹣ ）

（3）

解：如下圖：

令二次函數y=0，

x2+（k﹣1）x﹣k=0，

即：（x+k）（x﹣1）=0，

x=﹣k，或x=1，

C（﹣k，0），D（1，0），

直線y=kx+1過（0，1），

將拋物線y=x2+（k﹣1）x﹣k關于x軸對稱，

得：y=﹣x2﹣（k﹣1）x+k

聯立直線y=kx+1，得：

x2+（2k﹣1）x+1﹣k=0

△=（2k﹣1）2﹣4（1﹣k）=0

得：k= （舍）或k=﹣ ，

∵k＞0，

∴0＜k＜ ，

∵直線y=kx+1經過點C（﹣1，0）時，k=1，

∴由圖象可知，0＜k＜ 或k＞1時，直線y=kx+1與這個圖形只有兩個公共點

【解析】（1）將k=1代入拋物線解析式和直線解析式，聯立方程組，即可求出交點A、B的坐標；（2）過點P做y軸平行線，將三角形ABP分割成兩個小三角形，以PF為底，則兩個三角形高的和為AB兩點的水平距離，即可求出三角形面積；（3）將圖形折疊，求出直線與翻折后的拋物線相切的情況，聯立方程組，求出k值，結合k＞0，即可求出k的取值范圍．
【考點精析】掌握二次函數的圖象和二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．