Question

【題目】如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，∠OAB=30度．

（1）求∠APB的度數；
（2）當OA=3時，求AP的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：方法一：

∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，

∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°，

∵PA、PB是⊙O的切線，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，

∴在四邊形OAPB中，

∠APB=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°．

方法二：

∵PA、PB是⊙O的切線∴PA=PB，OA⊥PA；

∵∠OAB=30°，OA⊥PA，

∴∠BAP=90°﹣30°=60°，

∴△ABP是等邊三角形，

∴∠APB=60°

（2）解：方法一：如圖①，連接OP；

∵PA、PB是⊙O的切線，

∴PO平分∠APB，即∠APO= ∠APB=30°，

又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，

∴AP= =3 ．

方法二：如圖②，作OD⊥AB交AB于點D；

∵在△OAB中，OA=OB，

∴AD= AB；

∵在Rt△AOD中，OA=3，∠OAD=30°，

∴AD=OAcos30°= ，

∴AP=AB=3 ．

【解析】（1）方法1，根據四邊形的內角和為360°，根據切線的性質可知：∠OAP=∠OBP=90°，求出∠AOB的度數，可將∠APB的度數求出；方法2，證明△ABP為等邊三角形，從而可將∠APB的度數求出；（2）方法1，作輔助線，連接OP，在Rt△OAP中，利用三角函數，可將AP的長求出；方法2，作輔助線，過點O作OD⊥AB于點D，在Rt△OAD中，將AD的長求出，從而將AB的長求出，也即AP的長．