Question

【題目】已知二次函數的表達式為y=x2+mx+n．
（1）若這個二次函數的圖象與x軸交于點A（1，0），點B（3，0），求實數m，n的值；
（2）若△ABC是有一個內角為30°的直角三角形，∠C為直角，sinA，cosB是方程x2+mx+n=0的兩個根，求實數m，n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：將A（1，0）、B（3，0）代入y=x2+mx+n中，

，解得： ，

∴實數m=﹣4、n=3．

（2）解：當∠A=30°時，sinA=cosB= ，

∴﹣m= + ，n= × ，

∴m=﹣1，n= ；

當∠B=30°時，sinA=cosB= ，

∴﹣m= + ，n= × ，

∴m=﹣ ，n= ．

綜上所述：m=﹣1、n= 或m=﹣ 、n=

【解析】（1）把A、B坐標代入解析式，利用待定系數法可求出;（2）由∠C為直角，可得∠A、∠B互為余角，sinA=cosB，直角三角形中有一個30°角，則可能∠A或∠B，代入三角函數值，由根與系數關系可求出.
【考點精析】關于本題考查的拋物線與坐標軸的交點和解直角三角形，需要了解一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)才能得出正確答案．